Al-Khwarizmi, le savant qui a donné son nom aux algorithmes

Bagdad, carrefour des savoirs

Au début du IXe siècle, Bagdad, dans l'actuel Irak, est la capitale d'un immense empire, celui des califes abbassides, qui s'étend de la Méditerranée jusqu'aux portes de l'Inde. Les califes font rassembler des manuscrits grecs, perses et indiens, et soutiennent des savants chargés de les traduire en arabe, de les étudier et de les prolonger.

On raconte souvent que ces savants travaillaient dans une grande institution, la Maison de la sagesse. Ce qu'elle était exactement reste discuté : on a très peu de traces de sa fondation et de son fonctionnement, en partie parce que Bagdad a été ravagée par l'armée mongole en 1258.

Un homme dont on sait très peu

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi naît vers 780 et meurt vers 850. Son nom signifie « celui du Khwarezm », une région d'Asie centrale au sud de la mer d'Aral, aujourd'hui partagée entre l'Ouzbékistan et le Turkménistan. Lui-même, ou peut-être seulement sa famille, en venait.

On connaît si peu sa vie que les historiens se disputent sur le sens de quelques mots qu'un chroniqueur a écrits à son sujet. Ce qui est sûr : il travaille à Bagdad sous le calife al-Mamun, à qui il dédie deux de ses livres, l'un d'algèbre, l'autre d'astronomie.

Le livre qui a donné son nom à l'algèbre

Vers 820, il écrit un livre au long titre, qu'on peut traduire par Abrégé du calcul par la complétion et l'équilibre. En arabe, « complétion » se dit al-jabr : ce mot du titre est devenu notre mot algèbre.

À quoi sert ce livre ? Al-Khwarizmi l'explique dans sa préface : à faire les calculs dont les gens ont sans cesse besoin, pour les héritages, les partages, les procès, le commerce, la mesure des terres ou le creusement des canaux. C'est un livre pratique, pas un exercice gratuit.

Sa démarche : traduire chaque problème en équation, c'est-à-dire une égalité où un nombre inconnu est à trouver ; ramener cette équation à l'un de six types ; puis appliquer, pour chaque type, une méthode fixe, une suite d'étapes qui marche à tous les coups.

Deux opérations servent à ranger les équations :

• al-jabr, la « complétion » : faire disparaître une quantité retranchée en l'ajoutant des deux côtés de l'égalité ;
• al-muqabala, l'« équilibre » : retirer la même quantité des deux côtés.

Tu fais exactement cela quand tu « passes un terme de l'autre côté du signe égal ».

Tout en mots, et avec des dessins

Son algèbre ne contient aucun symbole : ni x, ni signe égal, ni chiffres dans les équations. Tout est écrit en phrases. L'un de ses exemples, traduit, dit : un carré et dix racines égalent trente-neuf. En notation moderne, on écrirait x² + 10x = 39.

Sa méthode tient en cinq étapes : prendre la moitié du nombre de racines (5) ; la multiplier par elle-même (25) ; ajouter 39 (64) ; prendre la racine carrée (8) ; retirer la moitié des racines (5). Il reste 3 : le nombre cherché est 3. Vérifie : 3 × 3 = 9, 10 × 3 = 30, et 9 + 30 = 39.

Pour prouver que sa méthode est juste, il dessine : un carré, auquel il colle des rectangles, puis de petits carrés dans les coins pour obtenir un grand carré complet. C'est la méthode dite « compléter le carré », qu'on enseigne encore au lycée.

Les chiffres venus d'Inde

Al-Khwarizmi écrit aussi un livre sur la manière de calculer avec les chiffres indiens : neuf signes plus le zéro, dont la valeur dépend de la place. Dans 503, le 5 vaut cinq centaines parce qu'il est au troisième rang en partant de la droite. Pour l'histoire de ces chiffres, voir Les nombres et le zéro.

Le texte arabe de ce livre est perdu. Il n'en reste que des versions latines, écrites en Europe au XIIe siècle et très remaniées, dont l'une s'intitule Algoritmi de numero Indorum, « Algoritmi, sur les nombres des Indiens ». De cette forme latine de son nom vient le mot algorithme : une suite d'étapes précises qui permet de résoudre un problème, ce qu'on donne à exécuter à un ordinateur. Voir Apprendre à programmer.

Ce livre a aidé à répandre ces chiffres dans le monde musulman, puis en Europe, où l'Italien Fibonacci les fait connaître en 1202, près de quatre siècles plus tard.

Aussi astronome et géographe

Al-Khwarizmi a dressé des tables pour calculer la position du Soleil, de la Lune et des planètes, en s'appuyant surtout sur des ouvrages indiens. Il a aussi écrit une géographie qui donne la latitude et la longitude de 2 402 lieux (villes, montagnes, mers, fleuves) pour dessiner une carte du monde. Pour les régions qu'il connaissait mieux, comme le monde musulman et l'Afrique, elle est plus juste que celle du savant grec Ptolémée, dont il s'inspirait.

Comment : rassembler, trier, simplifier

Al-Khwarizmi n'a pas tout inventé, et ce n'est pas là sa force. Des Babyloniens, des Grecs et des Indiens savaient déjà résoudre certaines de ces équations. Son travail a consisté à rassembler ces savoirs venus de plusieurs civilisations, à les trier, puis à les présenter sous une forme générale et simple, que n'importe qui pouvait suivre étape par étape.

Il a pu le faire parce qu'il vivait dans une ville où l'on traduisait des livres de plusieurs langues et où des savants d'origines diverses travaillaient côte à côte. Son génie est aussi celui de son entourage.

Ce que la légende oublie

• « Le père de l'algèbre » ? Les historiens ne sont pas d'accord. Pour certains, il mérite ce titre plus que le Grec Diophante, parce qu'il a été le premier à enseigner l'algèbre de façon élémentaire et pour elle-même. D'autres jugent son travail peu original. Le débat n'est pas tranché.
• Les chiffres « arabes » sont indiens. En Europe, on les appelle chiffres arabes parce qu'ils y sont arrivés par des livres écrits en arabe. Mais ils sont nés en Inde : on dit plus justement chiffres indo-arabes.
• Ses livres ont voyagé, pas toujours intacts. Quand son algèbre a été traduite en latin, au XIIe siècle, les chapitres sur les héritages, si utiles au Proche-Orient, ont été supprimés.

Ce qu'il a laissé

• Deux mots que tu emploies peut-être sans le savoir : algèbre et algorithme.
• Une manière de penser : ramener un problème compliqué à un type connu, puis appliquer une méthode sûre. C'est ce que fait un programme informatique, qu'il calcule un itinéraire à Lagos ou à Lima, ou qu'il prévoie la météo à Jakarta.
• Des chiffres commodes : essaie d'additionner LIX et XXXIX en chiffres romains, puis 59 et 39. Tu mesureras la différence.